Հատվածին ուղղահայաց և նրա միջնակետով անցնող ուղիղը կոչվում է հատվածի միջնուղղահայաց:

Թեորեմ: Միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ հատվածի ծայրակետերից:

Պետք է ապացուցել, որ AC և BC հատվածները հավասար են: Դրանում կարելի է համոզվել, եթե ապացուցեք, որ հավասար են BEC և AEC ուղղանկյուն եռանկյունները:

Ըստ միջնուղղահայացի սահմանման՝ E անկյունը ուղիղ է և AE=BE: Քանի որ CE-ն ընդհանուր կողմ է, ապա դիտարկվող եռանկյունները հավասար են՝ ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի (երկու կողմեր և դրանցով կազմված անկյուններ):

Հետևաբար, հավասար են նաև եռանկյունների ներքնաձիգները:

Անկյան կիսորդի հատկությունը․

Թեորեմ: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից:

Ապացուցենք այս թեորեմը: Նայիր վերևի նկարին:

Կիսորդով առաջացած եռանկյունների անկյունները համապատասխանաբար հավասար են: Իրոք, մի զույգի անկյունները հավասար են՝ ըստ կիսորդի սահմանման, մյուս զույգի անկյունները 90 աստիճան են (կետի հեռավորությունները ուղիղներից): Հետևաբար, հավասար է նաև երրորդ զույգի անկյունները (անկյունների գումարը պետք է 180° լինի):

Քանի որ դիտարկվող ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգը ընդհանուր է (կիսորդի վրա գտնվող կողմը), ապա եռանկյունները հավասար են` ըստ եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի (կողմ և առընթեր երկու անկյուններ): Հետևաբար, հավասար են նաև համապատասխան էջերը:

Առաջադրանքներ․

1)Geogebra ծրագրով գծեք եռանկյուն, տարեք կողմերի միջնուղղահայացները։

2)Geogebra ծրագրով գծեք եռանկյուն, տարեք անկյունների կիսորդները։

3)Հայտնի է, որ ABC եռանկյան AB և BC կողմերի միջնուղղահայացների հատման կետը գտնվում է ABC եռանկյան AC կողմի վրա: Որոշիր այն հատվածների երկարությունները, որոնց D կետով բաժանվում է AC հատվածը, եթե AC=60 սմ:

AB և BC  կողմերի միջուղղահայացներիըհատվում են AC կողմերում => եռ AKD=եռDMC քանի որ AK=MD  KD=MC, <AKD=<DMC=90°=>AD=DC=60/2=30սմ

4)T կետից ուղղին տարված են TP ուղղահայացը և TR թեքը: Որոշիր T կետի հեռավորությունը ուղղից, եթե ուղղահայացի և թեքի երկարությունների գումարը 31 սմ է, իսկ դրանց տարբերությունը՝ 1 սմ:

TP+TR=31սմ

TP-TR=1սմ

——————-

TP-?

2TR+1=31

TR=15=>TR=16սմ

5)ABC եռանկյան BC կողմի միջնուղղահայացը հատում է AC կողմը D կետում: Գտիր AD և DC հատվածների երկարությունները, եթե BD=54 սմ և AC=72 սմ:

BD=54սմ

AC=72սմ

—————

AD-?

DC-?

x²-72x+2916=0

x=72±5184-2916

x=36սմ²

1)Գրե՛ք 50-ից փոքր պարզ թվերի բազմությունը և հաշվե՛ք այդ բազմության
տարրերի քանակը:

{2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47}

Տարերի քանակը 15

2)Գրե՛ք միանիշ պարզ թվերի բազմությունը։

{2;3;5;7}

3)Գտեք x թիվը, եթե

ա){x} ∩ {1} = {x}

x=1

բ){x, 1} ∩ {2, -5, 0} = {2}

x=2

գ){x} U {0,5} = {2; 0,5}

x=2

դ){2x + 1} ∩ {4, 1/3, -2} = {-2}

2x+1=-2

x=-3/2

ե){x} U {-x} = {x}

x=0

4)Դիցուք A = {1; -1; 0; 2/3}, B = {7; 0; -1; 2/3; 5/8}: Գրե՛ք A ∩ B և A U B բազմությունները։

A ∩ B={ -1; 0; 2/3}

A U B={1; -1; 0; 2/3;7;5/8}

5)A բազմությունն ունի 4 տարր, A U B բազմությունը՝ 13 տարր, իսկ A ∩ B-ն՝ 3: Քանի՞ տարր ունի B բազմությունը:

• |A|=4(Aն ունի 4 տարր)
• |AUB|=13
• |A∩B|=3

|B|=?

|AUB|=|A|+|B|-|A∩B|

13=4+|B|-3

13=|B|+1

|B|=12

Պատ․՝ 12 տարր

6)Դիցուք A-ն 50-ից փոքր 3-ի բաժանվող բնական թվերի բազմությունն է, իսկ B-ն՝ 50-ից փոքր 5-ի բաժանվող բնական թվերի: Գրե՛ք A, B, A ∩ B, A U B բազմությունները:

1. A={3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;33;36;39;42;45}
2. B={5;10;15;20;25;30;35;40;45}
3. A∩B={15;30;45}
4. AUB={3;5;6;9;10;12;15;18;20;21;24;25;27;30;33;35;36;36;39;40;42;45}

7)Սպորտային ակումբում կա 25 անդամ: Նրանցից յուրաքանչյուրը հաճախում է կամ ֆուտբոլի, կամ թենիսի խմբակների: Հայտնի է, որ 15 հոգին հաճախում է ֆուտբոլի խմբակի, իսկ 17-ը՝ թենիսի: Քանի՞ հոգի է մասնակցում և թենիսի, և՛ ֆուտբոլի խմբակներին:

|A|=15

|B|=17

|AUB|=25

|AUB|=|A|+|B|-|A∩B|

25=15+17-(A∩B)

|A∩B|=32-25=7(հոգի)

Սև ոչխարը:  Բրունո Ֆերեո․ կարդա ստեղծագործությունը, կատարիր առաջադրանքները։

Կար- չկար մի սև ոչխար։ Հոտում մյուս բոլոր ոչխարները սպիտակ էին։ Նրանք ատում էին սև ոչխարին և նրա հետ շատ վատ էին վարվում։ Հենց որ տեսնում էին նրան, սկսում էին փնթփնթալ. «Հեռացի՛ր, դու այլանդակ ես, դու բնության սխալն ես»։ Նրանք երջանիկ էին միայն այն ժամանակ, երբ տեսնում էին, թե ինչպես է սև ոչխարը լաց լինում։

Բելինդան՝ գեր, սպիտակ ոչխարը, առանձնապես դաժան էր վարվում սև ոչխարի հետ։ Նա հոտի առաջնորդն էր։ Մյուս բոլոր ոչխարները միշտ հետևում էին նրան, կրկնում էին այն, ինչ նա էր ասում։

Սև ոչխարը տխուր էր։ Նա շատ էր ուզում մյուսների նման լինել, սակայն ոչ մի կերպ չէր կա­րող փոխել իր գույնը։ Երբեմն ցանկանում էր փախչել այդտեղից ու կորչել։ Սակայն ամեն անգամ ետ էր վերադառնում, քանի որ չգիտեր, թե ինչպես կարող էր ապրել մեն-մենակ։

Բելինդան խիստ ու հպարտ էր։ Նա որոշեց ճանապարհ ընկնել և ուսումնասիրել կյանքն ու աշխարհը։
Նա անցնում էր նոր արոտավայրերով։ Երբ հանդիպում էր նոր հոտերի, կանգ էր առնում նրանց մոտ և հպարտորեն ասում. «Ես հոտի առաջնորդ եմ։ Բոլորը լսում են ինձ։ Ես մեկն եմ նրանցից, ովքեր որոշում են, թե ինչ պետք է անել։»

Մի օր Բելինդան հանդիպեց շատ մեծ ու անսովոր հոտի։ Հոտի բոլոր ոչխարները սև էին։ Սկզբում նա զարմացավ, հետո սկսեց քրքջալ։ Նա այնքան համոզված էր, որ իր սպիտակ մորթին գերազանցություն ունի, որ ետ ընկրկեց ու շարունակեց ծիծաղել նրանց վրա։ Հետո մոտեցավ հոտին։

Սակայն ամբողջ հոտը սկսեց ծաղրանքով նրա վրա ծիծաղել։

Բելինդան առաջ երբեք հնարավորություն չէր ունեցել տեսնելու, թե ինչպես է մի սեփ-սև ոչխար նայում ուղիղ իրեն և ասում. «Որևէ մեկդ երբևէ տեսե՞լ եք ավելի ծիծաղելի բան, քան սա։ Պետք է պոկել սրա վրայից այս մորթին ու տեսնել, թե ինչ կա տակը։» Ամբողջ հոտը սկսեց ծիծաղել։ Բելինդան շրջվեց և որքան կարող էր արագ վազեց։ Սև հոտը նայեց նրա հետևից և շարունակեց ծիծաղել։ Նա վազեց դեպի մեկ այլ արոտավայր, որտեղ տեսավ մեկ այլ մեծ հոտ։

Նա երբեք չէր տեսել նման հոտ. այնտեղ կային սև ոչխարներ, սպիտակ ոչխարներ, մոխ­րագույն ոչխարներ, պուտավոր ոչխարներ, բոլորը խառն ապրում էին նույն հոտում։ Հիմա, երբ նա կորցրել էր իր ինքնավստահությունը, կանգ առավ ու կասկածով մտածեց. «Տեսնես այս հոտն ինչպե՞ս կվարվի ինձ հետ»։

Մի ոչխար տեսավ նրան և սիրալիր հարցրեց. «Որտեղի՞ց ես գալիս»։ Բելինդան պատասխանեց. «Ես եկել եմ սարի այն կողմից»։ Մի սև ոչխար մոտեցավ նրան, և Բելինդան պատրաստվեց փախչել։ Սև ոչխարն ասաց. «Մի՛ վախեցիր։ Մնա այստեղ մեզ հետ որքան ցանկանում ես։ Խոտն այստեղ շատ թարմ է։ Մենք ողջունում ենք քեզ»։

Բելինդան մնաց այդ հոտի հետ երկու օր։ Հետո որոշեց վերադառնալ տուն։ Հոտին հրաժեշտ տալուց առաջ նա ասաց. «Դուք աշխարհի լավագույն հոտն եք։ Դուք ընդունում ու հարգում եք բոլոր գույների ոչխարներին։ Իսկ մեր հոտում միայն մեկ սև ոչխար կա։»

 

1. Համառոտ՝ 5-6 նախադասությամբ վերապատմել պատմվածքը:

Սպիտաղ ոչախարների հոտում կար մի սև ոչխար։ Նրան որ ոք չեր սիրում և բոլորը ծաղրում էին, հատկապես նրանց առաջնորդը Բելինդան։ Մի օր Բելինդան որոշեց ճամփորդել և տեսավ շատ տարբեր գույների ոչխարների և նա իր գույնի համար նույնպես ծաղրանքի ենթարկվեց, այդ ժամանակ նա հասկացավ, որ երբ քո գույնը տարբերվում է դա պետք չէ ծաղրել։ Անկաղ գույնից պետք է հարգել բոլորին։

2. Առանձնացրու երեք համեմատաբար ինքնուրույն հատված: Համեմատիր իրար հետ:

Կար- չկար մի սև ոչխար։ Հոտում մյուս բոլոր ոչխարները սպիտակ էին։ Նրանք ատում էին սև ոչխարին և նրա հետ շատ վատ էին վարվում։ Հենց որ տեսնում էին նրան, սկսում էին փնթփնթալ. «Հեռացի՛ր, դու այլանդակ ես, դու բնության սխալն ես»։ Նրանք երջանիկ էին միայն այն ժամանակ, երբ տեսնում էին, թե ինչպես է սև ոչխարը լաց լինում։

Բելինդան՝ գեր, սպիտակ ոչխարը, առանձնապես դաժան էր վարվում սև ոչխարի հետ։ Նա հոտի առաջնորդն էր։ Մյուս բոլոր ոչխարները միշտ հետևում էին նրան, կրկնում էին այն, ինչ նա էր ասում։

Բելինդան խիստ ու հպարտ էր։ Նա որոշեց ճանապարհ ընկնել և ուսումնասիրել կյանքն ու աշխարհը։
Նա անցնում էր նոր արոտավայրերով։ Երբ հանդիպում էր նոր հոտերի, կանգ էր առնում նրանց մոտ և հպարտորեն ասում. «Ես հոտի առաջնորդ եմ։ Բոլորը լսում են ինձ։ Ես մեկն եմ նրանցից, ովքեր որոշում են, թե ինչ պետք է անել։»

 

3. Ո՞րն է ստեղծագործության մեջ արտահայտված գաղափարը:

Տարբերվելը երբեք ամոթ չէ։

4. Համաձա՞յն եք արտահայտված գաղափարի հետ: Հիմնավորեք:

Մարդիք տարբեր են լինում և դա ամոթ չէ և չի կարելի ծաղրել մարդկանց դրա համար։

5. Նկարագրեք իրական կյանքում հանդիպող նման իրավիճակներ ։

Երբ որ ինչ որ մեկը իր վառ ներկած մազերի գույնով,  իր հագուստով կամ իր մտածելակերպով տարբերվում է մյուսներից։

Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N տառով:

1,2,3,4,5,…

Բնական թվերից, և բոլոր բացասական ամբողջ թվերից՝ −1,−2,−3,−4,…, կազմված բազմությունն անվանում են ամբողջթվերի բազմություն և նշանակում են Z տառով:

Ամբողջ թվերից, սովորական կոտորակներից կազմված բազմությունն անվանում են ռացիոնալ թվերի բազմություն և նշանակում են Q տառով:

Հասկանալի է, որ՝ N-ը Z-ի ենթաբազմություն է, իսկ Z-ը՝ Q-ի։ N⊂Z; Z⊂Q:

Թիվը, որը կարելի է գրել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով կոչվում է իռացիոնալ թիվ: Իռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են I տառով: Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին անվանում են իրական թվեր: Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով:

Բազմությունը որևէ առարկաների, իրերի, գաղափարների հավաքածու է, որոնք կոչվում են այդ բազմության տարրեր:

Սովորաբար բազմությունը նշանակում են լատինական այբուբենի մեծատառերով՝ A,B,C,…,իսկ բազմության տարրերը՝ նույն այբուբենի փոքրատառերով՝ a,b,c,…:

Բազմությունը բաղկացած է տարրերից. դա գրում են ձևավոր փակագծերի միջոցով՝

A={a1;a2;…;an}

Եթե a-ն A բազմության տարր է, ապա ասում են՝ «a-ն պատկանում է A-ին» և գրում ∈ պատկանելիության նշանի միջոցով՝ a∈A: ∉ նշանը ցույց է տալիս, որ տարրը չի պատկանում բազմությանը:

Օրինակ՝ −8∉N նշանակում է, որ −8 թիվը չի պատկանում բնական թվերի բազմությանը:

Բազմության տարրերի հերթականությունը կարևոր չէ:

Օրինակ՝ {a,b,c}և{c,b,a} բազմությունները նույն են, կամ հավասար են:

Երկու բազմություններ անվանում են հավասար, եթե նրանք բաղկացած են միևնույն տարրերից:

Ոչ մի տարր չպարունակող բազմությունը անվանում են դատարկ  բազմություն և նշանակում են ∅ նշանով:

Վերջավոր թվով տարրերից բաղկացած բազմությունը կոչվում է վերջավոր բազմություն:

Եթե A բազմության ցանկացած տարր հանդիսանում է նաև B բազմության տարր, ապա ասում են, որ A-ն B բազմության ենթաբազմություն է և գրում են՝ A⊂B:

X և Y բազմությունների միավորում անվանում են այն բազմությունը, որը բաղկացած է բոլոր այն տարրերից, որոնք պատկանում են  X և Y   բազմություններից գոնե մեկին: Միավորումը նշանակում են այսպես՝ X∪Y:

Բազմությունները հարմար է ներկայացնել շրջանների տեսքով, որոնք անվանում են Էյլերի շրջաններ: Նկարում բազմությունների միավորումը ներկված է կապույտ գույնով:

X և Y բազմությունների հատում անվանում են այն բազմությունը, որի տարրերը պատկանում են միաժամանակ և՛ X, և՛ Y բազմություններին: Հատումը նշանակում են այսպես՝ X∩Y

Նկարում բազմությունների հատումը ներկված է նարնջագույնով:

Օրինակ`

Գտնենք A և B բազմությունների հատումը, եթե, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} և B={2,4,6,8,10}

Ընդգրկենք ընդհանուր տարրերը և բացառենք մնացած տարրերը՝

A∩B={2,4,6,8}

Վերջավոր բազմությունների դեպքում գոյություն ունի կապ երկու բազմությունների միավորման և հատման տարրերի թվերի միջև՝

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|

Առաջադրանքներ․

1)Ինչպե՞ս են նշանակում․

ա)բնական թվերի բազմությունը

N

բ)ամբողջ թվերի բազմությունը

Z

գ)ռացիոնալ թվերի բազմությունը

Q

դ)իռացիոնալ թվերի բազմությունը

I

ե)իրական թվերի բազմությունը

R

2)Դիցուք, A={4; 3; -1/7; 0}, B={3; 2/5; -4; 0; 6; 1}։ Հաշվեք AUB և A∩B։

A∩B={3;0}

AUB={4; 3; -1/7; 2/5; -4;0;6;1}

3)Ճի՞շտ են, արդյոք, հետևյալ գրառումները․

ա)-7 ∈ N

Սխալ է

բ)-4 ∉ N

ճիշտ է

գ)1/3 ∈ Z

սխալ է

դ)3/5 ∈ I

ճիշտ է

4)Նշված բազմություններից որի՞ն է պատկանում 2x + 5 = 4 — x հավասարման արմատը․

ա){0; 1/3; 2}- չկա

բ)N-բնական թվեր են չկա

գ){4; -1/3}-այո կա

դ)Z-ամբողջ թվեր են չկա

ե)∅-դատարկ բազմություն չկա

5)Գրեք այն անկրճատելի դրական ռացիոնալ թվերի բազմությունը, որոնք

ա)փոքր են 6-ից, և որոնց հայտարարը 3 է։

{1/3;2/3;4/3;5/3;7/3;8/3;10/3;11/3;13/3;14/3;16/3;17/3}

բ)փոքր են 15-ից և մեծ են 10-ից, և որոնց համարիչը 40 է։

{40/3}

6)ա)Գրառեք 10-ից մեծ և 50-ից փոքր պարզ թվերի բազմությունը։

11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47

բ)Գրառեք այն երկնիշ թվերի բազմությունը, որոնք 11-ի բաժանելիս տալիս են 7 մնացորդ։

x=11k+7      10<x<99    k=1,2…..8

Պատասխան {18,29,40,51,62, 73, 84, 95}

գ)Գրառեք 100-ից փոքր այն զույգ թվերի բազմությունը, որոնք 3-ի

բազմապատիկ են։

{6;12;18;24;30;36;42;48;54;60;66;72;78;84;90;96}

7)Դիցուք, A-ն 12-ից փոքր և 5-ի վրա չբաժանվող բնական թվերի բազմությունն է, իսկ B-ն՝ 15-ից փոքր և 3-ի վրա բաժանվող բնական թվերի բազմությունը։ Գտեք․

ա)A բազմության տարրերի թիվը։

{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11}

հեռացնենք 5ի վրա բաժանվողները

• 5
• 10

A={1;2;3;4;6;7;8;9;11}

Պատ․՝ 9տար

բ)B բազմության տարրերի թիվը։

{3;6;9;12}

Պատ․՝ 4տար

գ)Գրառեք A∩B բազմությունը և հաշվեք նրա տարրերի թիվը։

A∩B={3;6;9} 3տար

դ)Հաշվեք AUB բազմության տարրերի թիվը։

A∩B={1;2;3;4;6;7;8;9;11;12}

10տար